(Merci à Elisabeth Veilleux) 1 - L'effet goutte d'eau (Fig. 1) Quand un rayon de soleil pénètre dans une goutte d'eau, il est réfracté et réfléchi avant de subir une seconde réfraction en sortant de la goutte. La direction du "faisceau" réfracté dépend de la position et de l'angle du rayon incident par rapport à la surface de la goutte (considérée comme sphérique). A chaque réfraction, les "dioptres" air/eau et eau/air traversés se comportent comme un prisme : le rayon de soleil est décomposé en un spectre coloré.  L'analyse du trajet optique montre que l'angle entre le rayon entrant et le faisceau sortant est d'environ 41° +/- 1°
2 - Formation de l'arc-en-ciel (Fig. 2) On comprend dès lors que l'ensemble des gouttes éclairées par le soleil et telles que l'angle Soleil-Goutte-Oeil soit égal à 41° +/-1° apparaissent colorées à l'observateur. Sur la figure ci-contre, on a représenté les faisceaux réfractés par 4 gouttes : les gouttes du haut et du bas ne renvoient rien dans l'oeil de l'observateur. Par contre, la goutte a renvoie un rayon rouge et la goutte b renvoie un rayon violet. Suivant leurs positions, les gouttes entre a et b renvoient les couleurs intermédiaires de l'arc-en-ciel.
3 - Visibilité de l'arc-en-ciel (Fig. 3) Les conditions de soleil et de pluie étant réunies, c'est l'angle SGO de 41° qui est responsable de la plus ou moins bonne visibilité de l'arc : plus le soleil est bas sur l'horizon, plus l'arc monte dans le ciel et inversement. Quand le soleil dépasse 41° au dessus de l'horizon, il ne peut plus se former d'arc-en-ciel. Aux latitudes moyennes, les arcs-en-ciel ne sont donc visibles que le soir et le matin. Cependant, au sommet d'une (haute) montagne, l'horizon proche est bien plus bas que l'oeil de l'observateur. Dans ce cas, même avec un soleil dépassant 41° de hauteur, on peut voir un arc-en-ciel se former dans la vallée.
4 - Caractéristiques de l'arc-en-ciel (Fig. 4) Appelons S le centre du Soleil, O, l'oeil de l'observateur et M, le point le plus haut de l'arc-en-ciel. A partir des éléments précédents, on peut déduire les caractéristiques principales de l'arc : - Le centre C de l'arc est situé sur la droite SO qui constitue l'axe de l'arc. - La présence du soleil, forcément au dessus de l'horizon, impose que C soit en dessous de l'horizon. Par conséquent, la partie visible de l'arc-en-ciel est toujours inférieure à un demi-cercle (exception possible en montagne). - Le rayon apparent de l'arc est de 42° (angle sous lequel apparaît le rayon CM de l'arc pour l'observateur). -La largeur apparente de l'arc, du rouge au violet, est d'environ 2°. (Par comparaison, c'est 4 fois le diamètre apparent du soleil).
Commentaires pour ceux qui ont suivi jusqu'ici : - L'arc en-ciel, en tant que phénomène lumineux céleste, est un météore, au même titre que les aurores boréales ou les étoiles filantes (à ne pas confondre avec les météorites qui sont des débris naviguant dans l'espace et qui nous tombent quelquefois sur la tête en produisant dans l'atmosphère l'effet lumineux appelé "étoile filante"). - Toute personne qui arrose son jardin avec un jet d'eau dispersé en fines gouttelettes a pu s'apercevoir qu'en tournant le dos au soleil, elle créait un "arc-en-ciel artificiel" . En fait, la théorie s'applique rigoureusement de la même façon, puisque la distance entre l'observateur et les gouttes n'entre pas en jeu. Il est d'ailleurs amusant de constater que l'axe de l'arc est toujours la droite SO et que le rayon apparent est bien d'environ 42° comme indiqué à la figure 4. - L'arc secondaire : dans certaines conditions favorables, il est possible de voir apparaître à l'extérieur d'un arc-en-ciel très lumineux, un second arc concentrique et beaucoup plus pâle. Cet arc secondaire résulte d'un trajet optique des rayons avec double réflexion à l'intérieur des gouttes d'eau. Comme on peut le constater à l'observation, cette double réflexion induit un renversement dans l'ordre des couleurs. Nous laissons au lecteur le soin de tracer ce trajet avec double réflexion. Le premier qui nous envoie la valeur exacte de l'angle SGO pour un arc secondaire aura gagné ... ... la haute considération de pfz ! (*) (*) Note de pfz du 9 mai 2003 : L'angle vaut 51° (voir ci-dessous) - Très Haute Considération accordée à Jean-Jacques R. et Francis D.
Démonstration mathématique : (Merci à Francis D. pour la précision de ses calculs.) Non-matheux, vous n'êtes pas obligés de lire ce paragraphe ! Comment déterminer mathématiquement l'angle de formation des arcs-en-ciel (primaire et secondaire) ?
Arc primaire : Angle de déviation du rayon après une réflexion dans la goutte d'eau : D = pi - (4.r - 2.i) En dérivant par rapport à i, on peut montrer que D présente un minimum : dD/di = 2- 4.dr/di = 2(1 - 2.dr/di) Comme sin i = n.sin r, on peut écrire :cos i.di = n.cos r.dr, ou encore : dr/di = (Cos i)/(n.Cosr), d'où : dD/di = 2(1 - 2.cos i /n.cos r). Cette dérivée s'annule si 2.cos i = n.cos r soit, en élevant les 2 termes au carré : 4(1-sin2i) = n2(1-sin2r) Comme sin2i = n2.sin2r , on obtient finalement : sin2i = (4 - n2)/3
Avec n = 1,33 (pour le rouge), la valeur qui annule la dérivée est : i = 59,6°. Pour cette incidence, la déviation D est minimale; elle vaut environ 138°, soit un angle d'observation a voisin de 42° (a = 180°-D). Ce minimum produit un effet d'accumulation en sortie de goutte : pour un faisceau entrant de + ou - 2° autour de l'angle d'incidence de 59,6° , le faisceau sortant est concentré dans 0,02° autour de l'angle a de 42°, soit un gain de 100 . Si on refait le calcul pour une "plage" d'entrée plus réduite (par exemple de 59.4 à 59.8), le phénomène s'affirme encore plus : un écart de 0.4° à l'entrée produit un écart de sortie de l'ordre de 0.001°, d'où un gain de 400. Même en tenant compte des facteurs d'atténuation dûs aux réflexions parasites et aux pertes à la traversée de la goutte, cet effet de forte concentration des rayons émergeants à 42° explique le pic d'énergie lumineuse observée dans cette direction. Arc secondaire : L'angle de déviation dans le cas d'une double réflexion à l'intérieur de la goutte devient : D = 2.pi - (6.r - 2.i). Un calcul analogue sur la dérivée montre qu'il existe un minimum de D conduisant à un pic de concentration (moins net que le précédent) pour un angle de sortie a voisin de 51°.
Eventail des couleurs : Valeurs précises de l'angle d'observation a du rouge (n=1,330) au violet (n=1,336) : Indice de réfraction Arc primaire Arc secondaire 1,330 Rouge 42.516° 50,101° 1,331 Orange 42,370 50,365 1,332 Jaune 42,224 50,628 1,333 Vert 42,078 50,891 1,334 Bleu 41,933 51,153 1,335 Indigo 41,788 51,414 1,336 Violet 41,644 51,674

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