Solution du Problème 10
Le trio infernal

En utilisant une calculette ou un ordinateur (des engins puissants !), vous pouvez
naturellement vérifier la valeur de chacun des membres de l'égalité proposée :

( J'ose espérer que vous n'avez pas tenté de faire la calcul à la main ! )

A l'évidence, l'égalité est fausse, et pfz peut aller se rhabiller : même si les deux
quantités semblent proches, elles diffèrent toutefois de plus de 7x10¹⁹ (une paille !)

Cependant, en essayant d'être un tout petit peu plus intelligent que pfz, il est raisonnable de
laisser tomber la calculette et de réfléchir sur la parité ( ce mot est à la mode ! ) des trois entiers a, b, c :

Quel que soit l'exposant entier n > 0, on vérifie aisément que :

et donc, pour que aⁿ + bⁿ = cⁿ soit vraie, il est nécessaire que le trio (a, b, c) comporte
soit zéro, soit deux nombres impairs ( et ce n'est pas le cas dans l'exemple foireux de pfz ! )

Maintenant, la question qui se pose :
Si cette condition de parité est remplie, peut-on trouver des trios qui vérifient l'égalité aⁿ + bⁿ = cⁿ ?

Eh bien ! Andrew Wiles, un prof de Princeton University, a démontré en 1998 que :
pour n > 2, il n'existe aucun trio d'entiers vérifiant aⁿ + bⁿ = cⁿ.

Ceci constitue le dernier théorème de Fermat . Il aura fallu plus de 200 ans pour le démontrer,
au moyen de théories mathématiques très sophistiquées, ignorées à l'époque de Fermat ...

Et donc, ne soyez pas trop malheureux si vous avez passé quelques minutes à
chercher un trio qui vérifie a¹² + b¹² = c¹² !

Remarque : Il existe des solutions approchées de Fermat du genre a³ + b³ = c³ + ou - 1, par exemple :