Choisissons un point M de l'ellipse et traçons la génératrice du cône passant par le sommet du cône et par M. Cette génératrice est tangente aux deux sphères en P et Q. Les segments MA et MP sont égaux puisqu'ils sont tous les deux tangents à la même sphère et issus du même point M. Les segments MB et MQ sont égaux pour la même raison. On en déduit : MA + MB = MP + MQ = PQ  Comme la longueur du segment PQ est constante quel que soit le point M (puisque P et Q sont définis par les deux cercles parallèles de contact des sphères dans le cône), on vient de montrer que les points A et B sont tels que pour tout point M de l'éllipse :  MA + MB = Cte.

Cette démonstration relative aux points de contact de deux sphères avec un plan coupant un cône constitue le Théorême de Dandelin. Son intérêt didactique est d'établir une passerelle entre deux notions servant à définir une même courbe à deux époques différentes : Pour les Anciens, l'ellipse est définie comme une section conique (courbe obtenue à l'intersection d'un plan et d'un cône de révolution), tandis qu'au 16ème siècle, sa définition fait intervenir deux points particuliers : les foyers (lieu géométrique des points dont la somme des distances aux deux foyers est constante). Pour un aperçu plus précis du théorème de Dandelin, cliquer ici NOTE de ZAFTRA : Pour vous distraire, démontrez le théorême de Dandelin dans le cas où le plan coupe le cône suivant une section hyperbolique. ( C'est facile, même pfz en a été capable ! )

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